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本文主要研究擾動的廣義混合變分不等式解的存在性問題。對集值映射引入２種擾動方式:一種是通過連續(xù)的單值映射進行擾動;另一種是通過約束集的閘錐內(nèi)部的向量進行擾動。在較弱的強制性條件下證明了擾動問題解的存在性。本文的結(jié)果在經(jīng)濟領(lǐng)域的某些價格均衡模型中有潛在的應(yīng)用價值,推廣和改善了一些新近文獻的相應(yīng)結(jié)果。

設(shè)K是Rn中的一個非空閉凸集,F:K→２Rn是一個集值映射,?:Rn→R∪{＋∞}是一個真凸下半連續(xù)泛函且滿足K?dom?,其中dom?是泛函?的有效域,即dom?:＝{x∈Rn:?(x)＜＋∞}。所謂廣義混合變分不等式(簡記為GMVI(F,?,K))是指:找x∈K和x?∈F(x)滿足

＋?(y)－?(x)≥０,?y∈K。

本文用SOL(F,?,K)表示該問題的解集。

解的存在性問題是變分不等式理論的基礎(chǔ)性問題。當(dāng)約束集K是有界集時,主要依賴不動點定理、KKM定理等作為工具獲得解的存在性定理[１]。當(dāng)約束集K是無界集時,借助強制性條件(coercivityconditions)是常用的方法[２-７]?，F(xiàn)實中,由于各種因素的影響,任何映射都幾乎不可能準確刻畫事物的真相。這樣,關(guān)于數(shù)據(jù)擾動的變分不等式的研究已成為近年來的熱點問題。著名的Tikhonov正則化方法本質(zhì)上是對非適定的變分不等式的映射施予數(shù)乘恒等映射的擾動(見文獻[５]第１２章以及文獻[８-９])。２０１４年,文獻[１０]對GVI(F,K)中的映射施予更一般映射的擾動,擾動項映射不必是恒等映射,甚至不必是單調(diào)的。文獻[１０]同時研究了擾動項為向量的擾動方式,在適當(dāng)?shù)膹娭菩詶l件下獲得擾動后的GVI(F,K)解的存在性定理。隨后,文獻[１１]把該結(jié)果從有限維空間推廣到了無窮維空間并改善了結(jié)果。對于模型GMVI(F,?,K)擾動性的研究,一些學(xué)者引入了不同的擾動方式。文獻[９]通過對映射F施予數(shù)乘恒等映射的擾動,獲得了解的存在性定理和逼近性質(zhì)。此類Tikhonov正則化方法的思想已經(jīng)被證實對于很多領(lǐng)域出現(xiàn)的非適定原問題的解決是有效的。文獻[１２]通過對映射F施予參數(shù)擾動,獲得了解的存在性、有界性和逼近性質(zhì)。然而,現(xiàn)實中的變分不等式模型,由于擾動因素的多變性,似乎很難保證其擾動方式是按數(shù)乘恒等映射的方式進行,甚至連單調(diào)性都無法保證。參數(shù)化的擾動方式雖然具有很大的靈活性,但是其擾動的結(jié)果是得出一個映射族(見文獻[１２]定理４．１~４．３),所有條件均要求對于整個映射族都滿足,這樣的條件明顯強于原問題關(guān)于映射的條件要求。如何克服以上擾動方式的局限性是本文的主要動機。

受以上文獻的啟發(fā),本文主要研究擾動的GMVI(F,?,K)解的存在性問題。對集值映射引入２種擾動方式:一種是通過連續(xù)的單值映射進行擾動;另一種是通過約束集的閘錐內(nèi)部的向量進行擾動。本文在很弱的強制性條件下證明擾動問題解的存在性,其中強制性條件與擾動項無關(guān)。本文的結(jié)果在經(jīng)濟領(lǐng)域的某些價格均衡模型中有潛在的應(yīng)用價值。本文主要結(jié)果也推廣和改善文獻[５,９-１０]的相應(yīng)結(jié)果。

１預(yù)備知識

設(shè)K是Rn中的一個非空閉凸集,對每一個r＞０,記Kr:＝{x∈K:‖x‖≤r},B(θ,r):＝{x∈Rn:‖x‖≤r},?B(θ,r):＝{x∈Rn:‖x‖≤r},用K∞和barr(K)分別表示集合K的回收錐和閘錐: